Este método consiste em pegar \(n\) pontos e descobrir a reta(dada por \(y = ax+b\)) que seja a mais próxima possível dos pontos

Para isso, minimizamos a soma dos quadrados das distâncias. Ou seja, diminuir ao máximo o valor de

$$\sum_{i=1}^{n}(ax_i + b - y_i)^2$$

Nós temos \(n\) pontos dados, com coordenadas \((x_1, \ y_1), \ \cdots, \ (x_n, \ y_n)\).

E temos uma reta com coeficientes \(a\) e \(b\) ainda desconhecidos: $$r: \ y = ax + b$$

Daí calculamos a soma dos quadrados das distâncias verticais até a reta:

$$S(a, \ b) = \sum_{i=1}^{n} \left(ax_i + b - y_i\right)^2$$

E então, queremos minizar o valor de \(S\)(usando o método dos mínimos quadráticos), e para isso, derivamos parcialmente e igualamos à zero:

$$\begin{align*} \dfrac{\partial S}{\partial a} = 0 \Leftrightarrow & \sum_{i=1}^{n}2x_i\left(ax_i + b - y_i\right) = 0 \\ \dfrac{\partial S}{\partial b} = 0 \Leftrightarrow & \sum_{i=1}^{n}2\left(ax_i + b - y_i\right) = 0 \end{align*}$$

Reorganizando nós temos um sistema

$$\begin{align*} \begin{cases} a\sum x_i^2 + b\sum x_i = \sum x_i y_i \\ a\sum x_i + b \cdot n = \sum y_i \end{cases} \end{align*}$$

E na forma matricial

$$\begin{bmatrix} \sum x_i^2 & \sum x_i \\ \sum x_i & n \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sum x_i y_i \\ \sum y_i \end{bmatrix}$$

Que obtemos como solução:

$$m = n\sum x_i^2 - \left(\sum x_i\right)^2$$ $$a = \dfrac{n \sum x_i y_i - \sum x_i \sum y_i}{m}$$ $$b = \dfrac{\sum y_i \sum x_i^2 - \sum x_i \sum x_i y_i}{m}$$

Podemos ver pela desigualdade das médias, o valor de \(m\) é sempre positivo pois:

$$\sqrt{\dfrac{x_1^2 + \cdots + x_n^2}{n}} \ge \dfrac{x_1 + \cdots + x_n}{n}$$

Ocorrendo a igualdade se e somente se \(x_0 = x_1 = \cdots = x_n\)

• os \(x_i\) não são todos iguais \(\Rightarrow m \ne 0\)

• A quantidade de pontos: \(n\)
• Os \(n\) pontos: \(\left(x_i, \ y_i\right)\)